О БИФУРКАЦИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ «ВОСЬМЕРКА» КУСОЧНО-ГЛАДКОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ С СИММЕТРИЕЙ 

Ройтенберг Владимир Шлеймович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Ярославский государственный технический университет (Россия, г. Ярославль, Московский проспект, 88), E-mail: vroitenberg@mail.ru  

517.925

DOI

10.21685/2072-3040-2020-3-8 

Актуальность и цели. Изучение бифуркации в типичных одно- и двухпараметрических семействах кусочно-гладких динамических систем на плоскости представляет значительный интерес как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Этим исследованиям посвящено большое число научных работ. В приложениях часто встречаются динамические системы с симметрией. Однако бифуркации кусочно-гладких систем с симметрией пока изучены мало. Поэтому исследование бифуркаций в типичных семействах таких динамических систем представляется актуальным.
Материалы и методы. Используются методы качественной теории дифференциальных уравнений. Основной метод состоит в исследовании поведения функций последования и соответствующих функций расхождения при разных значениях параметров.
Результаты. Рассматривается двухпараметрическое семейство кусочногладких векторных полей на плоскости, «сшитых» из гладких векторных полей, заданных, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях. Векторные поля семейства предполагаются инвариантными при преобразовании симметрии относительно начала координат. При нулевых значениях параметров векторное поле имеет орбитно устойчивую периодическую траекторию Г, гомеоморфную «восьмерке», касающуюся в начале координат О оси х и сверху и снизу. В случае общего положения описываются бифуркации в окрестности U контура Г. Получена бифуркационная диаграмма – разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности в U векторных полей семейства.
Выводы. Описаны типичные двухпараметрические бифуркации в окрестности рассматриваемой периодической траектории. 

Ключевые слова

кусочно-гладкое векторное поле, симметрия, периодическая траектория, бифуркация, бифуркационная диаграмма. 

 Скачать статью в формате PDF

1. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. – Москва : Наука, 1985. – 224 с.
2. Simpson, D. J. W. Bifurcations in piecewise-smooth continuous dynamical systems / D. J. W. Simpson. – Word Scientific, 2010. – 238 p.
3. Guardia, M. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems / M. Guardia, T. M. Seara, M. A Teixeira // J. of Differential Equations. – 2011. – Vol. 250, № 4 – P. 1967–2023.
4. Ройтенберг, В. Ш. О бифуркациях петли сепаратрисы седла кусочно-гладкой динамической системы / В. Ш. Ройтенберг // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2020. – № 1. – С. 36–50.
5. Ройтенберг, В. Ш. Локальные бифуркации кусочно-гладких обратимых динамических систем на плоскости / В. Ш. Ройтенберг // Математика и математическое моделирование. – 2020. – № 1. – С. 1–15.
6. Х артман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – Москва : Мир, 1970. – 720 с.
7. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления/ Г.М.Фихтенгольц.–Москва : Физматгиз. – 1962. – Т. 1. – 607с.